Calculamos ahora este límite:

Atenti que, a diferencia de los items anteriores, ahora la indeterminación "infinito menos infinito" está en el denominador, pero no pasa nada, multiplicamos y dividimos por el conjugado como siempre! O sea, nos queda así:

$ \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{\sqrt{n+1}-n} \cdot \frac{\sqrt{n+1}+n}{\sqrt{n+1}+n} $ Ahora la diferencia de cuadrados nos quedó en el denominador, nos termina quedando: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n(\sqrt{n+1}+n)}{n+1-n^2} $ Hacemos la distributiva en el numerador... $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n\sqrt{n+1}+n^2}{n+1-n^2} $ Sacamos factor común \( n^2 \) en el numerador y en el denominador: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2(\frac{\sqrt{n+1}}{n}+1)}{n^2(-1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})} = \lim_{n \to +\infty} \frac{(\frac{\sqrt{n+1}}{n}+1)}{(-1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})} $

En un cálculo auxiliar resolvemos este límite

$ \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{n}$

Sacamos factor común adentro de la raíz, distribuimos...

$ \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n (1+\frac{1}{n})}}{n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{ \sqrt{n} \sqrt{(1+\frac{1}{n})}}{n} $

Usando propiedades de potencias nos queda...

$\lim_{n \to +\infty} \frac{(\frac{\sqrt{n+1}}{n}+1)}{(-1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})} = -1$

Por lo tanto, el límite es: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{\sqrt{n+1}-n} = -1 $

Dato de color: Este ejercicio lo tengo resuelto en mi canal de YouTube y siento que ahí lo expliqué por un camino medio enredado, lo volví a ver hace poco y no me gustó el camino que usé jajaja creo que se entiende mucho más así 💛